KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI

KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA
 
Koordinat kartesius dimensi tiga adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Dari ketiga sumbu tersebut dapat ditentukan tiga bidang yaitu bidang xy, bidang xz dan bidang yz. Ketiga bidang membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, V, VI, VII dan VIII. Oktan-oktan I, II, III, dan IV berada diatas bidang xy. Sedangkan oktan-oktan V, VI, VII dan VIII berada dibawah bidang xy.
Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang-bidang koordinat yz, xz, xy dan arah positif atau negative. Titik x disebut absis, titik y disebut koordinat dan titik z disebut aplikat.
Oktan I : (x+ , y+, z+) Oktan V : (x+ , y+, z-)
Oktan II : (x+ , y-, z+) Oktan VI : (x+ , y-, z-)
Oktan III : (x- , y-, z+) Oktan VII : (x- , y-, z-)
Oktan IV : (x- , y+, z+) Oktan VIII : (x- , y+, z-)
 


Jarak Dua Titik
Perhatikan gambar dibawah ini, kita akan menentukan jarak titik asal O ke titik P (x1, y1, z­­1).
|OA| = x1
|AB| = y1
|BP| = z1
Perhatikan segitiga AOB yang siku-siku di A, maka :
|OB|2 = |OA|2 + |AB|2
|OB|2 = x12 + y12
Kemudian perhatikan pada segitiga OBP yang siku-siku di B berlaku bahwa :
|OP|2 = |OB|2 + |BP|2
|OP|2 = x12 + y12 + z12 (jika jarak O ke P(x1,y1,z1))
Sehingga kita dapatkan bahwa untuk mencari jarak dari titik asal ke suatu titik adalah

Mencari jarak suatu titik ke titik yang lain
Dimisalkan titik A(x1,y1,z1) dan titik B(x2,y2,z2), maka untuk mencari jarak AB kita gunakan :

Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga
Panjang Vektor :
Diketahui suatu vektor a = < a1, a2, a­­3 >, maka panjang vektor a adalah :

 Jika diketahui suatu vektor a = < a1, a2, a­­3 > dan b = < b1, b2, b­­3 > maka jarak vektor AB:

Jika vektor u = < u1, u2, u­­3 > dan vektor v = < v1, v2, v­­3 > maka perkalian titiknya didefinisikan sama dengan vektor pada bidang, yaitu :

Apabila vektor u tegak lurus terhadap vektor v maka dapat dibuktikan dengan :

Perkalian Vektor
Jika diketahui suatu vektor a = < a1, a2, a­­3 > dan b = < b1, b2, b­­3 > maka :

Hasil Kali Silang Dua Vektor

Sumber :
Catatan Kuliah , Modul Belajar
Sukirman, 1994, Geometri Analitik Bidang Dan Ruang, Jakarta : Universitas Terbuka.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

KEDUDUKAN TITIK-TITIK DAN JARAK ANTARA DUA TITIK

Gambar
Kedudukan Titik-titik dan Jarak antara Dua Titik Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I - Element yaitu “ a point is that which has no part ”. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap, sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam. Misalnya sebuah bola yang menggelinding pada permukaan bidang miring dapat dinyatakan sebagai sebuah titik yang bergerak sehingga titik tersebut mengalami perpindahan tempat. Posisi bola saat di bagian atas tidak sama dengan posisi bola saat berada di pertengahan bidang. Proses menelaah sifat titik-titik di berbagai posisi tersebut maka dibutuhkan bantuan aljabar untuk menyatakan posisi titik dalam suatu simbol tertentu. Metode yang digunakan untuk menunjukkan posisi sebuah titik pada sebuah bidang mirip seperti teknik meng
Baca selengkapnya

KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

Gambar
A. SISTEM KOORDINAT KUTUB/ KOORDINAT POLAR Koordinat kutub atau lebih dikenal dengan koordinat polar Dalam sistem koordinat kutub hanya menggunakan sebuah sinar garis sebagai patoka muka. Biasanya sinar garis ini digambar mendatar dan mengarah ke kanan seperti pada gambar 1. Sinar garis itu dinamakan sumbu kutub , sedangkan titik pangkalnya yang biasanya diberi nama O disebut kutub atau titik asal .   Gambar 1. Koordinat Polar   Sebuah titik P(selain titik kutub/titik asal) dinyatakan kedudukan oleh jarak O ke P dan sudut antara garis OP dan sumbu kutub. Apabila r adalah jarak antara titik O dan titik P dan θ adalah salah satu sudut antara OP dan sumbu kutub, maka (r,θ) adalah sepasang koordinat kutub dari titik P dan ditulis P(r,θ) Gambar 2. Koordinat Polar a.        Koordinat polar dengan titik pada lingkaran   Gambar 3. Koordinaat Polar dengan titik pada lingkaran   Koordinat titik A à A(r,θ)   Gambar 4. Koordinaat Polar de
Baca selengkapnya