KEDUDUKAN TITIK-TITIK DAN JARAK ANTARA DUA TITIK

Kedudukan Titik-titik dan Jarak antara Dua Titik

Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I - Element yaitu “a point is that which has no part”. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap, sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam. Misalnya sebuah bola yang menggelinding pada permukaan bidang miring dapat dinyatakan sebagai sebuah titik yang bergerak sehingga titik tersebut mengalami perpindahan tempat. Posisi bola saat di bagian atas tidak sama dengan posisi bola saat berada di pertengahan bidang. Proses menelaah sifat titik-titik di berbagai posisi tersebut maka dibutuhkan bantuan aljabar untuk menyatakan posisi titik dalam suatu simbol tertentu.

Metode yang digunakan untuk menunjukkan posisi sebuah titik pada sebuah bidang mirip seperti teknik menggambar peta. Posisi suatu tempat pada permukaan bumi dinyatakan oleh koordinat peta yaitu derajat lintang (arah utara atau selatan) dan derajat bujur (arah timur atau barat). Posisi acuan untuk koordinat bujur-lintang tersebut yaitu Kota Greenwich di Inggris. Perhatikan gambar dan penjelasan di bawah ini. Misalkan kurva NGAS adalah meridian utama, kurva AWBE adalah garis ekuator, dan titik G adalah kota Greenwich maka posisi kota P dapat dinyatakan sebagai koordinat peta apabila derajat AB dan BP diketahui. Andaikan AB = 70° dan BP = 45° maka posisi P dinyatakan sebagai 70° bujur timur dan 45° lintang utara.

Geometri analitik menyederhanakan koordinat peta tersebut dengan menggunakan dua garis lurus berpotongan untuk menggantikan kurva meridian dan kurva ekuator. Titik potong kedua garis dijadikan sebagai titik acuan biasanya dinyatakan sebagai titik O. Posisi titik P dinyatakan oleh panjang ruas garis BP yang sejajar dengan garis sumbu X¢X dan panjang ruas garis AP yang sejajar garis sumbuYY¢. Panjang ruas garis BP sama dengan panjang ruas garis OA. Panjang ruas garis AP sama dengan panjang ruas garis OB. Sehingga titik P dapat dinyatakan berada pada posisi sejauh panjang OA dan OB terhadap titik O.

Dua buah titik berbeda akan berada pada posisi yang berbeda. Jarak kedua titik tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1)      Buatlah dua titik berbeda yaitu A dan B lalu hubungkan dengan sebuah ruas garis.

2)      Buat sebuah garis melalui A dan sebuah garis lain yang melalui B sehingga kedua garis berpotongan tegak lurus.

3)      Tentukan titik potong kedua garis yaitu C sehingga diperoleh segitiga siku-siku ACB atau BCA lalu ukur panjang ruas garis CA dan CB

4)      Tentukan panjang ruas garis AB dengan menggunakan Teorema Phytagoras. 

. Teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) sebagai berikut.

Teorema 1.1 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik P adalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d
Teorema 1.2 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l
Teorema 1.3 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garis  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar
Teorema 1.4 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l1 dan l2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.
Teorema 1.5 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalaha sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2
Teorema 1.6 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle)
Teorema 1.7 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya
Teorema 1.8 Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.
Teorema 1.9 Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.

ccccccccccccccccccddddddddddddddddddddd

1.5       Sistem Koordinat Cartesius

Representasi titik pada gambar 10 menjadi dasar pembuatan sistem koordinat Cartesius seperti dijelaskan pada subbab 1.1. Garis X¢X dan Y¢Y masing-masing disebut sumbu x dan sumbu y dengan titik acuan (pangkal) di O. Panjang OA = a menyatakan absis (absisca) titik P. Panjang AP = OB = b menyatakan ordinat (ordinate) titik P. Koordinat titik P dinyatakan oleh pasangan berurutan (a, b). Titik pangkal O biasanya dinyatakan oleh koordinat (0, 0).

Jika sudut XOY merupakan sudut siku-siku (right angle) maka sistem koordinat tersebut dinamakan sistem koordinat persegi panjang (rectangular coordinates) atau koordinat siku-siku atau koordinat Cartesius. Sistem koordinat persegi panjang terbagi menjadi empat daerah yang disebut kuadran yaitu kuadran I dibatasi oleh sudut XOY, kuadran II dibatasi oleh sudut YOX¢, kuadran III dibatasi oleh sudut X¢OY¢, dan kuadran IV dibatasi oleh sudut Y¢OX. Sinar OX dan OY masing-masing terdiri atas bilangan-bilangan riil positif. Sinar OX¢ dan OY¢ terdiri atas bilangan-bilangan riil negatif.

Sehingga himpunan titik-titik pada masing-masing kuadran dapat dinyatakan seperti dalam tabel berikut.

Tabel 1. Hubungan nilai absis dan ordinat suatu titik terhadap posisinya pada suatu kuadran Sistem Koordinat Cartesius

Koordinat (x, y)	Kuadran I	Kuadran II	Kuadran III	Kuadran IV
Absis	x > 0	x < 0	x < 0	x > 0
Ordinat	y > 0	y > 0	y < 0	y < 0

Jika diketahui koordinat titik-titik maka jarak antara dua titik dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan koordinat titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ABC dengan titik C(x₂, y₁) seperti pada gambar di samping. Maka jarak titik A dan B yaitu

Teorema 1.10 :

Koordinat titik tengah P(x, y) pada sebuah ruas garis yang titik-titik ujungnya adalah A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) adalah x = ½ (x₁+ x₂) dan y = ½ (y₁ + y₂)

Teorema 1.11 :

Apabila diketahui titik-titik P(x₁, y₁) dan Q(x₂, y₂) serta titik T(x, y) pada ruas garis PQ sedemikian sehingga PT : PQ = m : n  maka koordinat titik T ditentukan oleh :

x=(nx_1+mx_2)/(m+n)    dan     y=(ny_1+my_2)/(m+n)