KURVA BERDERAJAT DUA DAN LINGKARAN

LINGKARAN

Dalam geometri Euclid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.

 

Gambar 1. kumpulan titik-titik yang memiliki jarak dari suatu titik yang sama panjang

Persamaan Kurva Berderajat Dua dengan titik pusat (a,b)

      (x-a)² + (y-b)² = r²        

               

              atau 

 Ax² + By² + Cx + Dy + Ey + F = 0, A dan B ≠ 0

 

 Persamaan Kurva Berderajat Dua dengan titikpusat (0,0)

 x² + y² = r²

Kedudukan titik-tik yang bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap akan membentuk irisan kerucut (conic section)

Gambar 2

Esentrisitas : Perbandingan Tetap

Direktriks   : Garis Tetap

Titik Fokus

Esentrisitas : e = d : d'

d = d'  ⇒ e = 1

d < d'  ⇒ e < 1

d > d'  ⇒ e > 1

Lingkaran dengan titik pusat C (a, b), jari-jari r, dan ada titik pada lingkarang P(x, y)

Gambar 3. lingkaran dengan titik pusat(a,b)

(x - a)²  + (y – b)²  = r² 

x²  – 2ax + a²  + y²  – 2by + b² = r²

x² – 2ax + y² – 2by + a² + b² – r² = 0

A = 1, B = 1, C = 0, D = -2a, E = -2b, F = a + b – r

Persamaan umum lingkaran (x - 2) + (y – b) = r

Contoh 1 :

Jika lingkaran berpusat di (0, 0) dengan r = 3

Penyelesaian :

(x - a)² + (y – b)² = r²

(x - 0)² + (y – 0)² = 3²

x² + y² = 9

Contoh 2 : 

Misalkan lingkaran mempunyai titik (5, 1) berpusat di (-1, 0). Tentukan jari-jari dari lingkaran tersebut

Penyelesaian :

Jadi persamaan lingkarannya :

(x + 1)² + (y – 0)² = √37²

(x + 1) + y² = 37

Persamaan Lingkaran :

x²  + y² - 2ax  – 2by + c = 0

dengan

c = a² + b² – r²

Apakah yang terjadi jika c = 0, c > 0 dan c < 0 ??

1. Jika c = 0, maka a² + b² = r²

(x - a)² + (y – b)² = a² + b²

x² – 2ax + y² – 2by + a² + b² = a² + b²

x² – 2ax + y² – 2by = 0

x² + y² – 2ax– 2by = 0

jika berpusat di (0, 0), maka lingkaran yang terbentuk mempunyai jari 0

           2.  Jika c > 0, maka a² + b² > r²

           3.  Jika c < 0, maka a² + b² < r²

         Ingat !!

          c = a² + b² – r² ⇔ a² + b² – c = r² ⇔ r = √(a² + b² - c)

a.       r > 0 ⇔ √(a² + b² - c) > 0 (riil)

b.      r< 0 ⇔  √(a² + b² - c) < 0 (Tidak riil)

Jadi, agar lingkaran riil maka √(a² + b² - c)  > 0

Garis Singgung Antara 2 Lingkaran

Gambar 4. Garis singgung lingkaran

1. Garis Singgung persekutuan dalam lingkaran

   Garis Singgung persekutuan dalam lingkaran adalah garis singgung 2 lingkaran yang memotong garis 2 titik pusat

Gambar 5. Garis singgung persekutuan dalam

2. Garis Singgung persekutuan luar lingkaran

   Garis Singgung persekutuan luar lingkaran adalah garis singgung 2 lingkaran yang tidak memotong garis 2 titik pusat

Gambar 6. Garis singgung persekutuan luar

Sudut antar 2 lingkaran yang berpotongan

Gambar 7.Sudut yang terbentuk dari dua lingkaran yang berpotongan

Contoh Soal :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + y = 25 yang sejajar garis y = 2x + 3

1. Identifikasi masalah

-         x² + y² = 25 ( merupakan persamaan lingkaran), maka didapatkan sebuah lingkaran dengan titik pusat (0,0) dan jari-jari 5

-       garis singgung sejajar dengan garis y = 2x + 3, didapatkan m = 2

-       misalkan garis singgung lingkaran adalah k dan garis y = 2x + 3 adalah h

-       k // h, maka mk = mh = 2

-       k = y = 2x + 3, data yang dibutuhkan titik singgung untuk mencari c

       2. Strategi pemecahan masalah:

mencari titik singgung

Gambar 8.Garis dan titik singgung lingkaran

P₁ dan P₂ pada lingkarang maka :

x₁² + y₁² = 25

x₂² + y₂² = 25

P₁ dan P₂ pada garis singgung

y₁ = 2x₁ + c

y₂ = 2x₂ + c

Substitusikan persamaan y = 2x + c dan x₁² + y₁² = 25
x² + (2x + c )² = 25

x² + 4x² + 4xc + c² = 25
5x² + 4cx + c² = 25

5x² + 4cx + c² - 25 = 0

a= 5, b= 4c, c =  c² - 25
Agar memiliki solusi riil, syarat garis singgung adalah D = 0
b² - 4ac = 0
(4c)² - 4 (5) ( c² - 25 ) = 0
16c² - 20c² + 500 = 0
-4c² + 500 = 0 

500 = 4c²

125 = c²
c ± 5√5

Jadi, persamaan garis singgungnya  :

y = 2x - 5√5

dan 

y = 2x + 5√5

Jika diketahui garis y = mx + n dan lingkaran x² + y² = r² maka persamaan garis singgung yang sejajar y = mx + h yaitu y = mx + k dimana k = ± r √(1+m²)
Sehingga diperoleh 2 garis singgung 

y = mx + r √(1+m²)

dan 

y = mx - r √(1+m²)

Contoh Soal :

Diketahui :
Persamaan ( x - 2 )² + ( y - 3 )² = 16

Ditanya :
Apakah A(5,-4) berada didalam, diluar atau pada lingkaran ?

Penyelesaian :

Titik (5,-4) 

( x - 2 )² + ( y - 3 )² = 16

( 5 - 2 )² + ( -4 - 3 )² = 16

9 + 49 = 16

58 > 16

Ternyata jarak titik A > jari-jari lingkaran.

Berarti titik berada di luar lingkaran.

Titik pusat (0,0) : y = mx + r √(1+m² )

titik pusat ditranslasikan ke (a, b)

(y - b ) = m ( x - a ) + r √(1+m² )

y = mx - am + b + r √(1+m² )

Contoh : jika persamaan lingkaran x²  + y²  = 25 dengan titik pusat (0,0) ditranslasikan ke (2,3) 

y = 2x -2.2 + 3 + 5√5

   = 2x -4 + 3 + 5√5

   = 2x - 1 + 5 √5

Menggunakan Geogebra

Persamaan Lingkaran	Garis Singgung	Titik Singgung	Titik Pusat
x2  + y2  = 25	y = 2x + 11.18	(-4.47, 2.24)	(0, 0)
(x-2)2  + y2  = 25	y = 2x + 7.18	(-2.47, 2.24)	(2, 0)
(x-2)2  + (y-3)2  = 25	y = 2x + 10.18	(-2.47, 5.24)	(2, 3)

Tali busur adalah garis yang memotong lingkaran

Tali busur singgung adalah garis yang menguhubungkan 2 titik singgung

Persamaan garis kutub

Diketahui persamaan lingkaran x² + y² = r² dari titik (x₀, y₀) dapat dibuat 2 garis singgung S₁ (x₁, y₁) dan S₂ ( x₂, y₂).

Maka garis S₁ dan S₂  disebut tali busur singgung yaitu garis yang menghubungkan 2 titik singgung, maka persamaan garis kutub B(x₀, y₀) terhadap x² + y² = r²  adalah

x₀x + y₀y = r²  

sifat garis kutup tersebut adalah

1. menghubungkan 2 titik singgung dari garis-garis singgung yang berpotongan di (x₀, y₀)
2. tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan (x₀, y₀) dari titik pusat lingkaran

garis singgung h1 dan h2 berpotongan di Q

A titik singgung h1

B titik singgung h2

AB ⊥ PQ

AB garis kutub = x₀x + y₀y = r²  brlaku jika persamaan lingkaran x² + y² = r²