KURVA BERDERAJAT DUA DAN LINGKARAN

LINGKARAN
Dalam geometri Euclid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
 
Gambar 1. kumpulan titik-titik yang memiliki jarak dari suatu titik yang sama panjang
Persamaan Kurva Berderajat Dua dengan titik pusat (a,b)
      (x-a)² + (y-b)² = r²        
               
              atau 

 Ax² + By² + Cx + Dy + Ey + F = 0, A dan B ≠ 0
 
 Persamaan Kurva Berderajat Dua dengan titikpusat (0,0)
 x² + y² = r²

Kedudukan titik-tik yang bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap akan membentuk irisan kerucut (conic section)
Gambar 2

Esentrisitas : Perbandingan Tetap
Direktriks   : Garis Tetap
Titik Fokus
Esentrisitas : e = d : d'
d = d'  ⇒ e = 1
d < d'  ⇒ e < 1
d > d'  ⇒ e > 1
Lingkaran dengan titik pusat C (a, b), jari-jari r, dan ada titik pada lingkarang P(x, y)
Gambar 3. lingkaran dengan titik pusat(a,b)

(x - a)²  + (y – b)²  = r² 
x²  – 2ax + a²  + y²  – 2by + b² = r²
x² – 2ax + y² – 2by + a² + b² – r² = 0
A = 1, B = 1, C = 0, D = -2a, E = -2b, F = a + b – r
Persamaan umum lingkaran (x - 2) + (y – b) = r
Contoh 1 :
Jika lingkaran berpusat di (0, 0) dengan r = 3
Penyelesaian :
(x - a)² + (y – b)² = r²
(x - 0)² + (y – 0)² = 3²
x² + y² = 9
Contoh 2 : 
Misalkan lingkaran mempunyai titik (5, 1) berpusat di (-1, 0). Tentukan jari-jari dari lingkaran tersebut
Penyelesaian :

Jadi persamaan lingkarannya :
(x + 1)² + (y – 0)² = √37²
(x + 1) + y² = 37
Persamaan Lingkaran :
x²  + y² - 2ax  – 2by + c = 0
dengan
c = a² + b² – r²
Apakah yang terjadi jika c = 0, c > 0 dan c < 0 ??
  1. Jika c = 0, maka a² + b² = r²
(x - a)² + (y – b)² = a² + b²
x² – 2ax + y² – 2by + a² + b² = a² + b²
x² – 2ax + y² – 2by = 0
x² + y² – 2ax– 2by = 0
jika berpusat di (0, 0), maka lingkaran yang terbentuk mempunyai jari 0
           2.  Jika c > 0, maka a² + b² > r²
           3.  Jika c < 0, maka a² + b² < r²
         Ingat !!
          c = a² + b² – r² ⇔ a² + b² – c = r² ⇔ r = √(a² + b² - c)
a.       r > 0 ⇔ √(a² + b² - c) > 0 (riil)
b.      r< 0 ⇔  √(a² + b² - c) < 0 (Tidak riil)
Jadi, agar lingkaran riil maka √(a² + b² - c)  > 0
Garis Singgung Antara 2 Lingkaran
Gambar 4. Garis singgung lingkaran

1. Garis Singgung persekutuan dalam lingkaran
   Garis Singgung persekutuan dalam lingkaran adalah garis singgung 2 lingkaran yang memotong garis 2 titik pusat

Gambar 5. Garis singgung persekutuan dalam
2. Garis Singgung persekutuan luar lingkaran
   Garis Singgung persekutuan luar lingkaran adalah garis singgung 2 lingkaran yang tidak memotong garis 2 titik pusat
Gambar 6. Garis singgung persekutuan luar

Sudut antar 2 lingkaran yang berpotongan
Gambar 7.Sudut yang terbentuk dari dua lingkaran yang berpotongan

Contoh Soal :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x + y = 25 yang sejajar garis y = 2x + 3
1. Identifikasi masalah
-         x² + y² = 25 ( merupakan persamaan lingkaran), maka didapatkan sebuah lingkaran dengan titik pusat (0,0) dan jari-jari 5
-       garis singgung sejajar dengan garis y = 2x + 3, didapatkan m = 2
-       misalkan garis singgung lingkaran adalah k dan garis y = 2x + 3 adalah h
-       k // h, maka mk = mh = 2
-       k = y = 2x + 3, data yang dibutuhkan titik singgung untuk mencari c
       2. Strategi pemecahan masalah:
mencari titik singgung
Gambar 8.Garis dan titik singgung lingkaran

P₁ dan P₂ pada lingkarang maka :
x₁² + y₁² = 25
x₂² + y₂² = 25
P₁ dan P₂ pada garis singgung
y₁ = 2x₁ + c
y₂ = 2x₂ + c


Substitusikan persamaan y = 2x + c dan x₁² + y₁² = 25
x² + (2x + c )² = 25
x² + 4x² + 4xc + c² = 25
5x² + 4cx + c² = 25
5x² + 4cx + c² - 25 = 0

a= 5, b= 4c, c =  c² - 25
Agar memiliki solusi riil, syarat garis singgung adalah D = 0
b² - 4ac = 0
(4c)² - 4 (5) ( c² - 25 ) = 0
16c² - 20c² + 500 = 0
-4c² + 500 = 0 
500 = 4c²
125 = c²
c ± 5√5

Jadi, persamaan garis singgungnya  :
y = 2x - 5√5
dan 
y = 2x + 5√5


Jika diketahui garis y = mx + n dan lingkaran x² + y² = r² maka persamaan garis singgung yang sejajar y = mx + h yaitu y = mx + k dimana k = ± r √(1+m²)
Sehingga diperoleh 2 garis singgung 

y = mx + r √(1+m²)
dan 
y = mx - r √(1+m²)
Contoh Soal :

Diketahui :
Persamaan ( x - 2 )² + ( y - 3 )² = 16

Ditanya :
Apakah A(5,-4) berada didalam, diluar atau pada lingkaran ?

Penyelesaian :
Titik (5,-4) 
( x - 2 )² + ( y - 3 )² = 16
( 5 - 2 )² + ( -4 - 3 )² = 16
9 + 49 = 16
58 > 16
Ternyata jarak titik A > jari-jari lingkaran.
Berarti titik berada di luar lingkaran.
Titik pusat (0,0) : y = mx + r √(1+m2 )
titik pusat ditranslasikan ke (a, b)
(y - b ) = m ( x - a ) + r √(1+m2 )
y = mx - am + b + r √(1+m2 )
Contoh : jika persamaan lingkaran x2  + y2  = 25 dengan titik pusat (0,0) ditranslasikan ke (2,3) 
y = 2x -2.2 + 3 + 5√5
   = 2x -4 + 3 + 5√5
   = 2x - 1 + 5 √5
Menggunakan Geogebra
Persamaan Lingkaran
Garis Singgung
Titik Singgung
Titik Pusat
x2  + y2  = 25
y = 2x + 11.18
(-4.47, 2.24)
(0, 0)
(x-2)2  + y2  = 25
y = 2x + 7.18
(-2.47, 2.24)
(2, 0)
(x-2)2  + (y-3)2  = 25
y = 2x + 10.18
(-2.47, 5.24)
(2, 3)

Tali busur adalah garis yang memotong lingkaran
Tali busur singgung adalah garis yang menguhubungkan 2 titik singgung
Persamaan garis kutub
Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 = r2 dari titik (x0, y0) dapat dibuat 2 garis singgung S1 (x1, y1) dan S2 ( x2, y2).
Maka garis S1 dan S2  disebut tali busur singgung yaitu garis yang menghubungkan 2 titik singgung, maka persamaan garis kutub B(x0, y0) terhadap x2 + y2 = r2  adalah
x0x + y0y = r2  
sifat garis kutup tersebut adalah
  1. menghubungkan 2 titik singgung dari garis-garis singgung yang berpotongan di (x0, y0)
  2. tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan (x0, y0) dari titik pusat lingkaran
garis singgung h1 dan h2 berpotongan di Q

A titik singgung h1
B titik singgung h2
AB ⊥ PQ
AB garis kutub = x0x + y0y = r2  brlaku jika persamaan lingkaran x2 + y2 = r2

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI

Gambar
KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA   Koordinat kartesius dimensi tiga adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Dari ketiga sumbu tersebut dapat ditentukan tiga bidang yaitu bidang xy, bidang xz dan bidang yz. Ketiga bidang membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, V, VI, VII dan VIII. Oktan-oktan I, II, III, dan IV berada diatas bidang xy. Sedangkan oktan-oktan V, VI, VII dan VIII berada dibawah bidang xy. Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang-bidang koordinat yz, xz, xy dan arah positif atau negative. Titik x disebut absis, titik y disebut koordinat dan titik z disebut aplikat. Oktan I : (x+ , y+, z+) Oktan V : (x+ , y+, z-) Oktan II : (x+ , y-, z+) Oktan VI : (x+ , y-, z-) Oktan III : (x- , y-, z+) Oktan VII : (x- , y-, z-) Oktan IV : (x- , y+, z+) Oktan VIII : (x- , y+, z-)   Jarak Dua Titik Perhatikan gambar dibaw...
Baca selengkapnya

KEDUDUKAN TITIK-TITIK DAN JARAK ANTARA DUA TITIK

Gambar
Kedudukan Titik-titik dan Jarak antara Dua Titik Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Euclid mendefinisikan titik dalam buku I - Element yaitu “ a point is that which has no part ”. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap, sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam. Misalnya sebuah bola yang menggelinding pada permukaan bidang miring dapat dinyatakan sebagai sebuah titik yang bergerak sehingga titik tersebut mengalami perpindahan tempat. Posisi bola saat di bagian atas tidak sama dengan posisi bola saat berada di pertengahan bidang. Proses menelaah sifat titik-titik di berbagai posisi tersebut maka dibutuhkan bantuan aljabar untuk menyatakan posisi titik dalam suatu simbol tertentu. Metode yang digunakan untuk menunjukkan posisi sebuah titik pada sebuah bidang mirip seperti teknik meng...
Baca selengkapnya

KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

Gambar
A. SISTEM KOORDINAT KUTUB/ KOORDINAT POLAR Koordinat kutub atau lebih dikenal dengan koordinat polar Dalam sistem koordinat kutub hanya menggunakan sebuah sinar garis sebagai patoka muka. Biasanya sinar garis ini digambar mendatar dan mengarah ke kanan seperti pada gambar 1. Sinar garis itu dinamakan sumbu kutub , sedangkan titik pangkalnya yang biasanya diberi nama O disebut kutub atau titik asal .   Gambar 1. Koordinat Polar   Sebuah titik P(selain titik kutub/titik asal) dinyatakan kedudukan oleh jarak O ke P dan sudut antara garis OP dan sumbu kutub. Apabila r adalah jarak antara titik O dan titik P dan θ adalah salah satu sudut antara OP dan sumbu kutub, maka (r,θ) adalah sepasang koordinat kutub dari titik P dan ditulis P(r,θ) Gambar 2. Koordinat Polar a.        Koordinat polar dengan titik pada lingkaran   Gambar 3. Koordinaat Polar dengan titik pada lingkaran   Koordinat titik A ...
Baca selengkapnya